Homoskedastizität

Homoskedastizität bedeutet, dass die Varianz mehrerer Gruppen gleich ist. Das Gegenteil von Homoskedastizität ist Heteroskedastizität. Bei Heteroskedastizität ist die Varianz verschiedener Gruppen ungleich. Homoskedastizität ist eine wichtige Annahme vieler statistischer Verfahren.

Homoskedastizität ist eine Voraussetzung vieler Regressionsmodelle, zu denen auch ANOVA, ANCOVA, einfache lineare Regression, der t-Test und der F-Test zählen. Bei vorliegender Homoskedastizität sind die Residuen (also der zufällige „Fehler“ des Modells) gleich über alle Stufen der unabhängigen Variablen verteilt.

Das eigentliche Problem verursacht Heteroskedastizität aber, weil Regressionsmodelle die Methode der kleinsten Quadrate verwenden. Definitionsgemäß gewichtet die Methode der kleinsten Quadrate alle Fälle gleich. Bei mangelnder Homoskedastizität haben aber Fälle mit größerer Abweichung auch gleichzeitig einen größeren Einfluss als andere Fälle. Die Methode der kleinsten Quadrate hat dann einen Bias und ist nicht mehr effektiv (Effektivität bedeutet, dass es ein mathematisch besseres Verfahren gibt, beispielsweise gewichtete Regression).

Ein größeres Problem verursacht Heteroskedastizität allerdings bei der Berechnung der Standardfehler. Der Standardfehler ist ein Maß für die Präzision des Mittelwerts. Er misst damit, wie weit der Mittelwert der Stichprobe von dem Mittelwert der Grundgesamtheit entfernt liegt. Der Standardfehler berechnet sich aus der Standardabweichung und der Stichprobengröße und aus ihm werden wiederum andere Parameter berechnet. Bei Heteroskedastizität hat der Standardfehler einen Bias. Dieser Bias führt wiederum zu inkorrekten Schlussfolgerungen über Regressionskoeffizienten oder p-Werte.

Eine Möglichkeit ist, ein anderes, robusteres Verfahren, wie beispielsweise gewichtete Regression, zu berechnen, die allerdings auch wieder verschiedene Voraussetzungen hat. Ein anderer Ansatz ist, die Variable mit einem varianzstabilisierenden Verfahren zu transformieren, wie beispielsweise der Box-Cox Powertransformation.

Allerdings gilt die Methode der kleinsten Quadrate weitläufig als robust gegenüber Verletzungen der Homoskedastizität und die Heteroskedastizität muss entsprechend gravierend sein, bevor überhaupt Probleme auftreten.

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