Lexikon

Kurtosis, Wölbung, Exzess

Unter Kurtosis versteht man die Abweichung der Form einer Verteilung von einer Normalverteilung im Hinblick darauf, ob die Mitte der Verteilung (der Gipfel) eher spitzer oder flacher ist. Sie wird meist mit dem Symbol β2 oder α4 abgekürzt.

Verteilungen, die spitzer oder flacher als eine Normalverteilung sind, neigen auch dazu, in den Rändern eine andere Form zu haben. Diejenigen mit einem sehr spitz zulaufenden Gipfel haben in der Regel mehr Werte in den Rändern der Verteilung als eine Normalverteilung.

Obwohl es oft am einfachsten ist, die Kurtotsis einer Verteilung daran zu erkennen, wie spitz oder flach eine Verteilung ist, kommt es eigentlich auf die Anzahl der Werte in den Rändern an.

Die Kurtosis jeder (univariaten) Normalverteilung beträgt 3. Es ist allerdings üblich, statt der Kurtotsis den Exzess (mit dem griechischen Symbol γ gekennzeichnet) zu berichten, welcher einfach die Kurtosis minus 3 ist und oft wird auch fälschlicherweise von Kurtosis gesprochen, wenn eigentlich der Exzess gemeint ist. Der Exzess jeder (univariaten) Normalverteilung ist entsprechend Null, wie in der Abbildung unten.

Kurtosis (β2) Exzess (γ) Beschreibung
β2 < 3 γ < 0 platykurtische oder flachgipflige Verteilung
β2 = 3 γ = 0 mesokurtische oder normalgipflige Verteilung
β2 > 3 γ > 0 leptokurtische oder steilgipflige Verteilung

Verteilungen mit einer Kurtosis von weniger als 3 (bzw. einem Exzess von weniger als Null) werden als platykurtisch bezeichnet, obwohl dies nicht per se bedeutet, dass die Verteilung „flachgipflig“ ist, wie manchmal behauptet wird. Vielmehr bedeutet es, dass die Verteilung nur wenige und weniger extreme Ausreißer produziert als die Normalverteilung. Ein Beispiel für eine platykurtische Verteilung ist die stetige Gleichverteilung (auch Rechteckverteilung genannt), die keine Ausreißer produziert.

Leptokurtische Verteilungen hingegen haben viele Werte in den Rändern (und werden daher auch oft als Heavy-Tail-Verteilungen bezeichnet) und eine Kurtosis größer als 3 (bzw. einem Exzess größer als Null). Ein Beispiel für eine leptokurtische Verteilung ist die Laplace-Verteilung, deren Ränder sich langsamer Null annähern (daher langsamer abflachen) als die der Normalverteilung, und daher auch mehr Ausreißer produzieren als die Normalverteilung.

Berechnung

Kurtosis gilt auch als das vierte Moment einer Verteilung, was sich in dem Exponenten in der Formel zur Berechnung unten zeigt:

\[\beta_2 = \frac1n \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^4,\quad s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2}\]

Hierbei handelt es sich allerdings um die Formel für einen verzerrten Schätzer. SPSS berechnet die Kurtosis etwas anders, mit Hilfe der Formel für einen unverzerrter Schätzer:

\[\tilde\beta_2 = \frac{(n+1)\,n}{(n-1)\,(n-2)\,(n-3)} \cdot \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^4}{\sigma^2} – 3\cdot\frac{(n-1)^2}{(n-2) (n-3)},\quad \sigma = {\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2}\]