Einfaktorielle ANOVA

Einfaktorielle ANOVA: Alternative Effektstärkenmaße mit geringerem Bias

p-Werte geben zwar die statistische Signifikanz an, sind aber stark beeinflusst durch die Stichprobengröße. So gut wie jeder noch so kleine Unterschied zwischen zwei Gruppen kann signifikant werden, wenn wir die Stichprobengröße erhöhen. Maße der Effektstärke sollen dieses Problem lösen, da sie (weitestgehend) unabhängig von der Effektstärke sind. Die Betonung liegt hierbei auf weitestgehend: Es gibt nämlich – wie auch bei den statistischen Verfahren – mehr als eines zur Auswahl und nicht alle Verfahren sind gleich, auch wenn die meisten behaupten, in etwa dasselbe zu beschreiben. SPSS berechnet von sich heraus \(\eta_{2}^{p}\) (partielles Eta Quadrat). Okada (2013) fand allerdings, dass Eta Quadrat systematisch die Effektstärke überschätzt. Eta Quadrat wird auch mit der aufgeklärten Varianz gleichgesetzt. Dies ist allerdings falsch, da sie die aufgeklärte Varianz nur schätzen. Okada (2013) stellt noch zwei weitere Maße vor, die dem partiellen Eta Quadrat vorzuziehen sind: Epsilon Quadrat (ε²) und Omega Quadrat (ω²).

partielles Eta Quadrat

Das partielle Eta Quadrat erfreut sich in wissenschaftlichen Publikationen großer Beliebtheit. Dies ist allerdings auch vor allem SPSS zu verdanken: das partielle Eta Quadrat ist das einzige Maß für Effektstärke, dass SPSS berechnet. Es schätzt die aufgeklärte Varianz einer bestimmten Variablen, nachdem die Einflüsse aller anderen Faktoren in der Gesamtvariabilität herauspartialisiert (kontrolliert) wurden.

Epsilon Quadrat und Omega Quadrat

Während Eta Quadrat die aufgeklärte Varianz systematisch überschätzt – und die besonders bei kleinen Gruppen (Okada, 2013) – sind sowohl die Maße Epsilon Quadrat als auch Omega Quadrat weniger anfällig für solche Verzerrungen. Die Berechnung beider Maße ist auch recht ähnlich:

\({\hat{\omega }^2 = \displaystyle\frac{\mathrm{QS}_\mathrm{B}-(\mathrm{df}_\mathrm{B})\cdot \mathrm{MS}_\mathrm{W}}{\mathrm{QS}_\mathrm{Tot}+\mathrm{MS}_\mathrm{W}}}\)

Und Epsilon Quadrat:

\({\hat{\varepsilon }^2 = \displaystyle\frac{\mathrm{QS}_\mathrm{B}-(\mathrm{df}_\mathrm{B})\cdot \mathrm{MS}_\mathrm{W}}{\mathrm{QS}_\mathrm{Tot}}}\)

Epsilon Quadrat und Omega Quadrat berechnen

Für die Berechnung benötigen wir die Tabelle der Einfaktoriellen ANOVA

Einfaktorielle ANOVA
bdi
Quadratsumme df Mittel der Quadrate F Signifikanz
Zwischen den Gruppen 5569,356 2 2784,678 78,106 ,000
Innerhalb der Gruppen 3101,767 87 35,652
Gesamt 8671,122 89

Omega-Quadrat würden wir mit folgenden Werten aus der Tabelle berechnen:

\({\hat{\omega }^2 = \displaystyle\frac{ {\color{GuruRed}\mathrm{QS}_\mathrm{B}}-({\color{GuruGreen}\mathrm{df}_\mathrm{B}})\cdot {\color{GuruBlue}\mathrm{MS}_\mathrm{W}}}{{\color{GuruGold}\mathrm{QS}_\mathrm{Tot}}+{\color{GuruBlue}\mathrm{MS}_\mathrm{W}}}} \approx 0{,}63147\)

Epsilon-Quadrat ganz ähnlich:

\({\hat{\varepsilon }^2 = \displaystyle\frac{ {\color{GuruRed}\mathrm{QS}_\mathrm{B}}-({\color{GuruGreen}\mathrm{df}_\mathrm{B}})\cdot {\color{GuruBlue}\mathrm{MS}_\mathrm{W}}}{{\color{GuruGold}\mathrm{QS}_\mathrm{Tot}}}} \approx 0{,}63406\)

Beide Werte sind recht ähnlich zu dem „konventionellen“ Eta-Quadrat von 0,6423, dass wir zuvor berechnet hatten, haben aber einen geringeren Bias.

Omega² und Epsilon² werden analog zu Eta² berichtet, wie wir es hier besprechen. Anstatt dem Eta würden wir entsprechend ein Omega bzw. Epsilon schreiben.

Literaturverzeichnis

  1. Okada, K. (2013). Is omega squared less biased? A comparison of three major effect size indices in one-way ANOVA. Behaviormetrika40(2), 129-147. doi:10.2333/bhmk.40.129