Einfaktorielle MANOVA: Post-hoc Tests #2: Paarweise Vergleiche

Wie bereits erwähnt, berechnen wir im letzten Schritt post-hoc Tests zwischen den einzelnen Gruppen, für jede der vorherigen signifikanten ANOVAs. Dies machen wir, da uns die einfaktorielle MANOVA und später die einfaktoriellen ANOVAs als Omnibusverfahren lediglich sagen, dass es einen Unterschied zwischen den Gruppen gab aber nicht wo.

Wir haben zwei verschiedene Tests bei der Berechnung der einfaktoriellen MANOVA ausgewählt: den Tukey-Test und den Games-Howell-Test. Die Interpretation richtet sich danach, ob wir im vorigen Schritt Gleichheit der Fehlervarianzen (Levene-Test) bzw. Gleichheit der Kovarianzenmatrizen (Box-Test) hatten.

Falls wir keine Gleichheit der Kovarianzenmatrizen haben, würden wir nachfolgend immer den Games-Howell-Test interpretieren. Falls wir Gleichheit der Kovarianzenmatrizen hatten, würden wir uns den Levene-Test anschauen und bei gegebener Varianzgleichheit den Tukey-Test und bei nicht gegebener Varianzgleichheit den Games-Howell-Test interpretieren. Der Games-Howell-Test basiert auf dem Lösungsansatz von Welch, der uns auch schon in ähnlicher Weise in der Welch-ANOVA und in dem Welch-Test (als Alternative zum ungepaarten t-Test) begegnet ist.

In unserem Beispiel hatten wir Gleichheit der Kovarianzenmatrizen, aber gemäß dem Levene-Test keine Gleichheit der Fehlervarianzen für den Summenscore Zufriedenheit, sondern nur für das Ergebnis der Mathematikklausuren. Da aber die einfaktorielle post-hoc ANOVA für den Summenscore Zufriedenheit im vorigen Schritt nicht signifikant wurde, müssen wir hierfür keine weiteren post-hoc Paarvergleiche berechnen.

SPSS Ausgabe

Die post-hoc Tests stehen in der SPSS-Ausgabe unter dem Punkt Mehrfachvergleiche bzw. Multiple Comparisons. Für unseren Datensatz sieht die Ausgabe wie unten aus.

Da allerdings im vorigen Schritt nur die einfaktorielle ANOVA für das Ergebnis der Mathematikklausuren signifikant geworden ist, interpretieren wir hier nur den Tukey-HSD dieser abhängigen Variable. Grundsätzlich sollte jeder signifikanten einfaktoriellen ANOVA mit paarweisen Vergleichen nachgegangen werden.

Uns interessiert in der unteren Hälfte der Tabelle der Tukey-HSD Test für das Ergebnis der Mathematikklausuren. Es gibt insgesamt sechs verschiedene Gruppenvergleiche. Die Anzahl an Gruppenvergleichen richtet sich nach der Anzahl der Gruppen unseres Faktors. Wenn n die Anzahl der Gruppen ist, berechnet sich die Anzahl der Gruppenvergleiche g mit folgender Formel:

\(g = \frac{1}{2}\cdot n\cdot\left (n-1\right )\)

Bei drei Gruppen ergeben sich daraus auch wiederum drei mögliche Gruppenvergleiche. In der Tabelle von SPSS sehen wir allerdings sechs Vergleiche für den Tukey-HSD. Der Grund dafür ist einfach: SPSS macht einen Unterschied zwischen einem Vergleich von Gruppe A vs. Gruppe B und Gruppe B vs. Gruppe A. SPSS berücksichtigt also die Reihenfolge noch einmal – das ist allerdings nicht nötig. Schauen wir uns dazu einmal die Tabelle mit den Mehrfachvergleichen genauer an:

In den ersten beiden Spalten (I) Gruppe und (J) Gruppe sehen wir, welche beiden Gruppen verglichen werden. Die Spalte daneben, Mittlere Differenz (I-J), ist die Differenz zwischen den Mittelwert aus Gruppe I und Gruppe J. Bei genauerer Betrachtung der farbig gleichen Zeilen sehen wir, dass die Mittlere Differenz dieselbe ist, nur das Vorzeichen ein anderes. Die Information in beiden Zeilen ist aber essentiell dieselbe. Auch die Spalte der Signifikanz hat dieselben Werte für korrespondierende Paare.

Im letzten Teil der Tabelle sehen wir das 95%-Konfidenzintervall. Bei farbig gleichen Zeilen sind Ober- und Untergrenze vertauscht und die Vorzeichen anders. Ansonsten sind auch die Werte in diesen Spalten identisch.

Welche Gruppen sollten wir also interpretieren?

Bei essentiell zwei identischen Gruppen mit unterschiedlichen Vorzeichen stellt sich natürlich die Frage: Welche der beiden Zeilen sollen man interpretieren? Die Antwort ist, dass es nicht wirklich einen Unterschied macht, ob man die eine oder andere Zeile nimmt, solange man die Richtung des Effekts korrekt interpretiert. Dennoch ist es von Vorteil, sich die Gruppen auszusuchen, die für die Fragestellung der Studie den meisten Sinn machen.

In unserer Beispielstudie haben wir eine Kontrollgruppe. Es würde daher für uns Sinn machen, wenn wir Werte relativ zu der Kontrollgruppe interpretieren würden. Bei der übrigen Gruppe ist es im Prinzip egal, welche wir nehmen. Wir haben uns für die unten markieren Zeilen entschieden:

Nehmen wir als Beispiel die blaue Zeile. In der Spalte Mittlere Differenz (I-J) sehen wir die Differenz zwischen der Kontrollgruppe und der Vollintegrierten Gruppe. Der Wert -9,8600 bedeutet, dass die vollintegrierte Gruppe im Schnitt 9,8600 weniger Punkte auf den Mathematiklausuren hatte, als die Kontrollgruppe. Wir testen auf einem Alphaniveau von 5 %. Daher sind Ergebnisse signifikant, bei denen p < .05 ist. Diese Werte werden von SPSS zusätzlich mit einem Sternchen (*) in der Spalte Mittlere Differenz (I-J) markiert.

Unterschiedliche Ergebnisse

Es kann vorkommen und kommt auch oft genug vor, dass die einfaktorielle ANOVA signifikant wird, aber die paarweisen post-hoc Vergleiche keine signifikanten Gruppenunterschiede finden. Umgekehrt kann es auch sein, dass die ANOVA nicht signifikant wird, der paarweisen post-hoc Vergleiche allerdings einen oder gleich mehrere signifikante Unterschiede finden – auch wenn bei einer nicht-signifikanten ANOVA meist keine weiteren Tests gemacht werden. Es gibt unterschiedliche Gründe dafür, wie beispielsweise die unterschiedliche Power beider Tests oder die unterschiedliche Art, wie beide Verfahren auf Signifikanz testen.

Ergebnisse berichten

Die Ergebnisse aus den hervorgehobenen Zeilen könnten wir so in einer wissenschaftlichen Arbeit angeben: