Einfaktorielle MANOVA: Weitere Voraussetzungen überprüfen
Als nächstes überprüfen wir die Voraussetzungen, die sich erst mit der Berechnung der MANOVA überprüfen lassen. Teil der Ausgabe von SPSS sind verschiedene weitere Tests, die vorrangig Homoskedastizität überprüfen. Dazu gehört der Levene-Test, der die Homoskedastizität der Fehlervarianzen überprüft, und der Box-Test, der die Homogenität unserer Varianz-Kovarianz Matrizen ermittelt.
Levene-Test auf Gleichheit der Fehlervarianzen in SPSS
SPSS verwendet den Levene-Test, um die Varianzhomogenität zu überprüfen. In der Ausgabe der einfaktoiellen MANOVA findet sich folgende Tabelle:
| Levene-Test auf Gleichheit der Fehlervarianzena | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Levene-Statistik | df1 | df2 | Sig. | ||
| Summenscore Zufriedenheit | Basiert auf dem Mittelwert | 3,574 | 2 | 297 | ,029 |
| Basiert auf dem Median | 3,318 | 2 | 297 | ,038 | |
| Basierend auf dem Median und mit angepassten df | 3,318 | 2 | 294,132 | ,038 | |
| Basiert auf dem getrimmten Mittel | 3,535 | 2 | 297 | ,030 | |
| Ergebnis Mathematikklausuren | Basiert auf dem Mittelwert | ,902 | 2 | 297 | ,407 |
| Basiert auf dem Median | ,906 | 2 | 297 | ,405 | |
| Basierend auf dem Median und mit angepassten df | ,906 | 2 | 296,083 | ,405 | |
| Basiert auf dem getrimmten Mittel | ,918 | 2 | 297 | ,400 | |
| Prüft die Nullhypothese, dass die Fehlervarianz der abhängigen Variablen über Gruppen hinweg gleich ist. | |||||
| a. Design: Konstanter Term + Lehrmethode | |||||
Bei einem signifikanten Levene-Test (p < .05) würden wir von einer Verletzung der Varianzhomogenität ausgehen. Die Signifikanz des Levene-Tests steht in der letzten Spalte der Tabelle. Wenn der Wert größer als .05 ist, können wir von Varianzhomogenität ausgehen.
Der Levene-Test wird bei einer MANOVA getrennt für jede abhängige Variable berechnet und muss ebenfalls getrennt für jede abhängigen Variable überprüfen werden.
Am häufigsten wird der Levene-Test basierend auf dem Mittelwert interpretiert, aber eine Interpretation basierend auf einem der anderen Werte kann besser sein. Dies ist beispielsweise meist der Fall, wenn die Verteilung nicht symmetrisch ist. Bei einer Verteilung mit schweren Rändern würde man eher den Levene-Test basierend auf dem getrimmten Mittel interpretieren. Bei schiefen Verteilungen oder wenn man die den Daten zugrundeliegende Verteilung nicht genau kennt, kann man den Levene-Test basierend auf dem Median interpretieren.
Da unsere Daten normalverteilt waren, interpretieren wir hier den Levene-Test basierend auf dem Mittelwert. Dies würden wir so verschriftlichen:
Homogenität der Fehlervarianzen zwischen den Gruppen war gemäß dem Levene-Test für das Ergebnis der Mathematikklausuren erfüllt (p > .05), nicht aber für Zufriedenheitswerte (p = .029).
English
There was homogeneity of the error variances for the math scores (p > .05) but not for contentment scores (p = .029), as assessed by Levene’s test.
Fehlervarianzen ungleich?! Was nun?
Wenn die Fehlervarianzen ungleich sind, gibt es folgende Möglichkeiten:- Weitermachen wie gehabt. SPSS berechnet als Teil der Ausgabe der MANOVA mehrere Statistiken, die je nach Datenlage, relativ robust gegenüber bei Verletzungen der Varianzgleichheit sind (siehe auch Ateş, Kaymaz, Kale, & Tekindal, 2019). Wir werden auf der nächsten Seite noch einmal genauer auf die vier Statistiken (Pillai-Spur, Wilks-Lambda, Hotelling-Spur und die größte charakteristische Wurzel nach Roy) eingehen und erklären, wann welche zu interpretieren ist.
- Wir können die Variable mit der Box-Cox-Transformation transformieren, um die Varianzen zu stabilisieren. Die Box-Cox-Transformation gehört zu den besten Methoden, um dies zu tun.
- Auch wenn dadurch die Interpretation der eigentlichen MANOVA erschwert wird, so können wir immer noch die post-hoc Vergleiche interpretieren, da sie unabhängig von den Annahmen der MANOVA sind (Hsu, 1996, p. 177). In der Regel interessiert uns sowieso meist mehr, wo die Unterschiede liegen als dass es überhaupt Unterschiede gibt.
- Falls nur eine oder wenige Variablen betroffen sind, könnten sie aus dem Modell entfernt werden.
Box-Test auf Gleichheit der Kovarianzenmatrizen
| Box-Test auf Gleichheit der Kovarianzenmatrizena | |
|---|---|
| Box-M-Test | 8,463 |
| F | 1,397 |
| df1 | 6 |
| df2 | 2198439,692 |
| Sig. | ,211 |
| Prüft die Nullhypothese, dass die beobachteten Kovarianzenmatrizen der abhängigen Variablen über die Gruppen gleich sind. | |
| a. Design: Konstanter Term + Lehrmethode | |
Da die Power des Box-Tests stark von der Anzahl an Fällen (und dem Vorhandensein normalverteilter Daten) abhängt wird der Box-Test schneller signifikant, umso mehr Fälle vorhanden sind. Einige Autoren empfehlen daher den Box-Test nicht auf einem .05 Signifikanzlevel zu prüfen, sondern auf .025 oder .01 (Mertler, 2004) bzw. .001 (Verma, 2015; Warner, 2012).
Die Interpretation der Tabelle erfolgt analog zu der des Levene-Tests: Hat die Spalte Sig. einen Wert kleiner als .05 (bzw. einem der Werte oben), dann haben wir diese Voraussetzung verletzt und keine Gleichheit der Kovarianzenmatrizen. In allen andern Fällen, wenn p also größer als .05 ist, besteht Gleichheit der Kovarianzenmatrizen und die Voraussetzung ist erfüllt.
Homogenität der Kovarianzenmatrizen war gemäß dem Box-Test gegeben (p > .001).
English
There was homogeneity of covariances, as assessed by Box’s test (p > .001).
Kovarianzenmatrizen ungleich?! Was nun?
Bei ungleichen Kovarianzenmatrizen sehen unsere Optionen ganz ähnlich wie bei ungleichen Fehlervarianzen aus. Drei der vier Möglichkeiten von oben treffen können wir auch hier anwenden:- Weitermachen wie gehabt. SPSS berechnet als Teil der Ausgabe der MANOVA mehrere Statistiken, die je nach Datenlage, relativ robust gegenüber ungleichen Kovarianzenmatrizen sind (siehe auch Ateş, Kaymaz, Kale, & Tekindal, 2019). Wir werden auf der nächsten Seite noch einmal genauer auf die vier Statistiken (Pillai-Spur, Wilks-Lambda, Hotelling-Spur und die größte charakteristische Wurzel nach Roy) eingehen und erklären, wann welche zu interpretieren ist
- Wir können die Variable mit der Box-Cox-Transformation transformieren, um die Varianzen zu stabilisieren. Die Box-Cox-Transformation gehört zu den besten Methoden, um dies zu tun.
- Auch wenn dadurch die Interpretation der eigentlichen MANOVA erschwert wird, so können wir immer noch die post-hoc Vergleiche interpretieren, da sie unabhängig von den Annahmen der MANOVA sind (Hsu, 1996, p. 177). In der Regel interessiert uns sowieso meist mehr, wo die Unterschiede liegen als dass es überhaupt Unterschiede gibt.
Literaturverzeichnis
- Ateş, C., Kaymaz, Ö., Kale, H. E., & Tekindal, M. A. (2019). Comparison of Test Statistics of Nonnormal and Unbalanced Samples for Multivariate Analysis of Variance in terms of Type-I Error Rates. Computational and Mathematical Methods in Medicine, 2019, 1–8. doi:10.
1155/ 2019/ 2173638 - Mertler, C. A. (2004). Advanced and Multivariate Statistical Methods: Practical Application and Interpretation (3rd ed.). Pyrczak Publishing.
- Hsu, J. (1996). Multiple Comparisons: Theory And Methods (Guilford School Practitioner). Springer.
- Verma, J. P. (2015). Repeated Measures Design for Empirical Researchers (1st ed.). Wiley.
- Warner, R. M. (2012). Applied Statistics: From Bivariate Through Multivariate Techniques (2nd ed.). Sage Publications Ltd.