Mann-Whitney-U-Test: Hypothesen
Auch wenn der Mann-Whitney-U-Test als direkte Alternative zum ungepaarten t-Test verwendet wird, hat er doch komplett andere Hypothesen. Dies wird auch durch die vierte Voraussetzung deutlich, dass die Verteilungsform zwischen den beiden Gruppen (etwa) gleich sein sollte.
Ursprünglich wurde der Test von Mann und Whitney (1947) entwickelt, um zu überprüfen, ob eine von zwei Zufallsvariablen stochastisch größer ist, als die andere. Allerdings wird der Test und sein Ergebnis heutzutage nur selten so interpretiert. Meist interpretieren wir einen signifikanten p-Wert so, dass wir von „Unterschiede zwischen den Verteilungen“ oder „Unterschiede zwischen den Medianen“ oder einfach nur „Unterschiede in den Gruppen“ von zwei Gruppen ausgehen.
Es ist allerdings etwas komplizierter, da der Mann-Whitney-U-Test sowohl Lage, als auch Verteilung überprüft (Hart, 2001).
Der Mann-Whitney-U-Test nur die Mediane wenn die Verteilungen der beiden Gruppen identisch sind und sich lediglich in ihrer Lage unterscheiden, wie in der Abbildung unten (Divine, Norton, Barón, & Juarez-Colunga, 2018; Hart, 2001).
Wir können im Diagramm oben sehen, dass beide Verteilungen identisch sind, die rote Verteilung aber im Verhältnis zur blauen etwas weiter rechts ist und damit generell höhere Werte aufweist. Mit dem Mann-Whitney-U-Test können wir diese Veränderung in der Lage statistisch überprüfen. Dafür überprüft der Mann-Whitney-U-Test die mittleren Ränge, um eine Aussage über die Unterschiede der Verteilungen zu machen. Wenn allerdings nur die Verteilung verschoben sind, überprüft der Mann-Whitney-U-Test, ob sich beide Verteilung in ihren Medianen voneinander unterscheiden.
Ansonsten vergleicht der Mann-Whitney-U-Test die Verteilungen als Ganzes und nicht irgendwelche zusammenfassenden stichprobenspezifischen Statistiken. Dabei werden beide Gruppen zusammengenommen und jeden Wert wird ein Rang zugewiesen. Dadurch entsteht erstmal eine einzige Gruppe, bei der alle Werte einen Rang zugewiesen bekommen haben, wobei der kleinste Wert auch den kleinsten Rang bekommt und der größte Wert den größten Rang.
In nächsten Schritt wird der Mittelwert der Ränge gebildet – für jede Gruppe separat. Hat eine Gruppe generell höhere Werte (wie die rote Gruppe in der Abbildung oben), wird sie auch höhere Ränge haben. Die Differenz zwischen den mittleren Rängen beider Gruppen ist die entscheidende Kennzahl, nach der der Mann-Whitney-U-Test einen Unterschied zwischen den beiden Gruppen festmacht.
Die Verteilungsform ist hierbei entscheidend (Divine, Norton, Barón, & Juarez-Colunga, 2018; Hart, 2010). Beide Verteilungen in der Abbildung unten haben beispielsweise den gleichen Median, aber eine andere Varianz. Bei entsprechender Stichprobengröße würde der Mann-Whitney-U-Test auch einen signifikanten Unterschied anzeigen.
Hypothesen des Mann-Whitney-U-Test
Wie jeder statistischer Test, hat auch der Mann-Whitney-U-Test eine H0 und H1 Hypothese, nach denen sich die Angabe der Signifikanz richtet.
Die Nullhypothese H0 und die Alternativhypothese HA besagen:
| H0 | Die Wahrscheinlichkeit einer Beobachtung aus den beiden Verteilung ist für jede der beiden Verteilungen gleich (anders ausgedrückt: die Verteilungen sind gleich) |
| HA | Die Wahrscheinlichkeit einer Beobachtung aus den beiden Verteilung ist für jede der beiden Verteilungen nicht gleich (anders ausgedrückt: die Verteilungen sind nicht gleich) |
Da der Mann-Whitney-U-Test auf der Berechnungen der mittleren Rängen beider Gruppen basiert, könnte man die Null- und Alternativhypothesen auch so ausdrücken:
| H0 | Die mittleren Ränge beider Gruppen sind gleich |
| HA | Die mittleren Ränge beider Gruppen sind nicht gleich |
Literaturverzeichnis
- Divine, G. W., Norton, H. J., Barón, A. E., & Juarez-Colunga, E. (2018). The Wilcoxon–Mann–Whitney Procedure Fails as a Test of Medians. The American Statistician, 72(3), 278–286. doi:10.
1080/ 00031305. 2017. 1305291 - Hart, A. (2001). Mann-Whitney test is not just a test of medians: differences in spread can be important. BMJ, 323(7309), 391–393. doi:10.
1136/ bmj. 323. 7309. 391 - Mann, H. B., & Whitney, D. R. (1947). On a Test of Whether one of Two Random Variables is Stochastically Larger than the Other. The Annals of Mathematical Statistics, 18(1), 50–60. doi:10.
1214/ aoms/ 1177730491